Ce este şi cum se determină cel mai mic multiplu comun

Ce este cel mai mic multiplu comun

În aritmetică și teoria numerelor, cel mai mic multiplu comun pentru două numere naturale întregi (nenule) a și b este un al număr natural m, care nu este niciodată negativ și nici zero, definit ca cel mai mic număr natural posibil care poate fi divizibil cu fiecare dintre aceste numere. Acesta poate fi calculat și pentru mai mult de două numere. Altfel spus, cmmmc este cel mai mic număr în care se regăsesc toate celelalte numere ca divizori, potrivit Cuemath.com. Cmmmc se notează cu [a, b] și se prescurtează cmmmc sau lcm, prescurtare care provine din englezescul least common multiple sau lowest common multiple. În cazul a două numere întregi, notate cu a și b, cmmmc-ul este acel număr întreg m care îndeplinește următoarele condiții:

• m este divizibil atât cu a, cât și cu b (adică a ∣ m și b ∣ m);
• orice alt număr care este multiplu comun al lui a și b este, la rândul său, divizibil cu m (adică dacă m este un multiplu comun al lui a și b, atunci m ∣ m).

Iată ce trebuie să faci pentru a afla cmmmc al numerelor naturale 2 și 5. Fiecare dintre acestea va avea propriul set de multipli, și anume:

• Multiplii lui 2 sunt 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 și așa mai departe.
• Multiplii lui 5 sunt 5, 10, 15, 20 și așa mai departe.

Se poate observa că multiplii comuni ai numerelor 2 și 5 sunt 10 și 20 și așa mai departe, ceea ce înseamnă că cel mai mic număr dintre 10, 20 și așa mai departe este 10. Așadar, cel mai mic multiplu comun al numerelor 2 și 5 este 10. Acesta se poate scrie astfel: cmmmc [2, 5] = 10.

Cum se determină cel mai mic multiplu comun

Există mai multe metode pentru aflarea celui mai mic multiplu comun pentru două sau mai multe numere naturale nenule, iar alegerea celei mai potrivite metode depinde de complexitatea numerelor pe care le analizăm și de scopul calculelor. Iată care sunt aceste metode de aflare a celui mai mic multiplu comun pentru două numere naturale întregi:

Metoda de listare a multiplilor comuni

Putem determina cel mai mic multiplu comun pentru două sau mai multe numere naturale prin listarea multiplilor comuni ai acestora. Pentru a calcula cmmmc-ul a două numere a și b prin această metodă trebuie parcurși următorii pași:

Pasul 1: Listează primii câțiva multipli ai numerelor a și b.

Pasul 2: Identifică multiplii comuni din listele celor două numere.

Pasul 3: Selectează cel mai mic multiplu comun din listă, iar acesta este cmmmc-ul celor două numere.

Exemplu: trebuie determinat cel mai mic multiplu comun al numerelor 4 și 5.

Soluție: Se identifică primii câțiva multipli ai celor două numere:

Pasul 1: Multiplii lui 4 sunt: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, …

Multiplii lui 5 sunt: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, …

Pasul 2: Se observă că 20 și 40 sunt multiplii comuni.

Pasul 3: 20 este cel mai mic multiplu care apare atât în lista multiplilor lui 4, cât și în cea a lui 5, ceea ce înseamnă că 20 este cel mai mic multiplu comun pentru numerele naturale 4 și 5. Acesta se scrie astfel: cmmmc [4, 5] = 20.

Metoda factorilor primi

Cel mai mic multiplu comun pentru două numere naturale date se poate afla folosind metoda factorilor primi. Pentru a calcula cmmmc-ul celor două numere prin această metodă va trebui să urmezi următorii pași:

Pasul 1: Trebuie identificați factorii primi ai numerelor date folosind metoda divizării repetate.

Pasul 2: Se scriu numerele sub formă de puteri ale factorilor primi, după care se determină produsul doar al acelor factori primi care au cea mai mare putere.

Pasul 3: Produsul acestor factori primi cu puterile cele mai mari reprezintă cmmmc-ul numerelor date.

Exemplu: Determină cel mai mic multiplu comun al numerelor 60 și 90 folosind metoda factorizării în factori primi.

Soluție: Se determină cmmmc-ul numerelor 60 și 90 prin metoda factorizării în factori primi.

Pasul 1: Factorizarea primă a numerelor 60 și 90 este:

60 = 2 × 2 × 3 × 5

90 = 2 × 3 × 3 × 5

Pasul 2: Se scriu acești factori primi sub formă de puteri:

60 = 2² × 3¹ × 5¹

90 = 2¹ × 3² × 5¹

Pasul 3: Se aleg 2², 3² și 5¹ (se ia fiecare factor o singură dată, dar cel cu cea mai mare putere) și se determină produsul lor:

2² × 3² × 5¹ = 4 × 9 × 5 = 180

Astfel, cmmmc-ul numerelor 60 și 90 este 180. Acesta se scrie astfel: cmmmc [60, 90] = 180.

Metoda divizării

Pentru a determina cel mai mic multiplu comun prin metoda divizării va trebui să împărțim numerele la un divizor prim comun, iar acești factori primi vor fi folosiți pentru a calcula cmmmc-ul numerelor respective. Și în cazul acestei metode vor trebui parcurși câțiva pași, după cum urmează:

Pasul 1: Trebuie găsit un număr prim care este divizor pentru cel puțin unul dintre numerele date și apoi se scrie acest număr prim în partea stângă a numerelor.

Pasul 2: Dacă numărul prim identificat la pasul 1 este divizor al unui număr, atunci acel număr se va împărți la factorul prim și se va scrie câtul dedesubt. Dacă nu este divizor, atunci se va scrie numărul așa cum este pe rândul de mai jos. Se va continua până când în ultima linie va rămâne doar 1.

Exemplu: Găsește cel mai mic multiplu comun al numerelor 6 și 15 folosind metoda divizării.

Soluție: Se va determina cmmmc-ul pentru numerele 6 și 15 prin metoda divizării, urmând pașii de mai jos:

Pasul 1: Cel mai mic număr prim și divizor al lui 6 este 2. Astfel, vom scrie 2 în stânga celor două numere, iar pentru fiecare număr din coloana din dreapta vom continua să găsim numere prime care le divid.

Pasul 2: Numărul 2 divide 6, dar nu divide și 15, așa că scriem 15 pe rândul următor exact cum este. Se continuă pașii până se ajunge la 1 în ultima linie. Apoi se împart 3 și 15 la 3 și se obține 1 și, respectiv 5. Apoi scriem 5 în stânga și la final obținem 1, iar 1 ca fi câtul de pe ultima linie.

Pasul 3: Se înmulțesc numerele scrise în partea stângă. cmmmc-ul este produsul tuturor acestor factori primi: cmmmc al lui 6 și 15 = 2 × 3 × 5 = 30. Acesta se scrie astfel: cmmmc [6, 15] = 30.

2	6, 15
3	3, 15
5	1, 5
	1, 1

cmmmc [6,15] = 2 X 3 X 5 = 30

Deși există trei metode pentru a determina cel mai mic multiplu comun, metoda divizării este cel mai des utilizată și cea mai simplă. Poți folosi un calculator online pentru cmmmc pentru a verifica răspunsurile.

Cel mai mic multiplu comun pentru trei numere

Cel mai mic multiplu comun pentru trei numere poate fi calculat folosind aceleași metode prezentate anterior, relatează Mathisfun.com.

Exemplu 1: Găsiți cel mai mic multiplu comun al numerelor 4, 6 și 8.

Soluție: Vom folosi metoda factorizării în numere prime pentru a găsi cmmmc-ul celor trei numere.

Pasul 1: Factorizarea primă a numerelor 4, 6 și 8 este:

4 = 2 × 2

6 = 2 × 3

8 = 2 × 2 × 2

Pasul 2: Se scriu acești factori primi sub formă de puteri:

4 = 2²

6 = 2¹ × 3¹

8 = 2³

Pasul 3: Se aleg 2³ și 3¹ (se ia fiecare factor o singură dată, dar cel cu cea mai mare putere) și se determină produsul lor:

2³ × 3¹ = 8 × 3 = 24

Astfel, cmmmc-ul numerelor 4, 6 și 8 este 24. Acesta se scrie astfel: cmmmc [4, 6, 8] = 24.

Exemplu: Găsiți cel mai mic multiplu comun al numerelor 4, 6 și 8.

Soluție: Vom folosi metoda listării multiplilor comuni.

Pasul 1: Multiplii lui 4 sunt: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, …

Multiplii lui 6 sunt: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, …

Multiplii lui 8 sunt: 8, 16, 24, 32, 40, 48, …

Pasul 2: Se observă că 24 și 48 sunt multiplii comuni ai celor trei numere.

Pasul 3: Dintre cei doi multipli comuni, 24 este cel mai mic multiplu comun pentru 4, 6 și 8. Acesta se scrie astfel: cmmmc [4, 6, 8] = 24.

Formula cmmmc

Această formulă este utilizată pentru a determina cel mai mic multiplu comun pentru două numere naturale. Dacă știm cele două numere și cel mai mare divizor comun al acestora (cmmdc), putem calcula rapid și ușor cmmmc-ul fără a folosi metodele prezentate anterior. Dacă a și b sunt cele două numere naturale, formula cmmmc al acestora este:

cmmmc [a, b] = (a × b) ÷ cmmdc (a, b)

Această formulă înseamnă că cmmmc-ul pentru două numere a și b este egal cu produsul acestor numere împărțit la cel mai mare divizor comun al lor.

Exemplu: Să se găsească cmmmc pentru numerele 12 și 21, știind că cmmdc al lor este 3.

Soluție: Pentru a afla cmmmc pentru 12 și 21 folosim formula de mai sus înlocuind a și b cu aceste numere, astfel:

cmmmc [a, b] = (a × b) ÷ cmmdc (a, b)

cmmmc [12, 21] = (12 × 21) ÷ cmmdc (12, 21)

cmmmc [12, 21] = 252 ÷ 3

cmmmc [12, 21] = 84

Relația dintre cmmmc și cmmdc

Cel mai mic multiplu comun pentru două sau mai multe numere naturale nenule este cel mai mic număr natural posibil care poate fi divizibil cu fiecare dintre aceste numere. În schimb, cel mai mare divizor comun pentru două sau mai multe numere este cel mai mare număr care divide toate acele numere. Acesta se obține prin înmulțirea factorilor primi comuni ai numerelor. Presupunând că a și b sunt două numere, relația dintre cmmmc și cmmdc este:

cmmmc [a, b] × cmmdc (a, b) = a × b

Această formulă funcționează deoarece produsul dintre două numere este egal cu produsul dintre cmmmc și cmmdc. Legătura dintre cmmmc și cmmdc este valabilă pentru două numere și exprimă legătura dintre cmmmc și cmmdc. Se folosește în special în cazurile în care cmmdc este cunoscut sau se poate calcula ușor. Dacă două numere nu au divizori comuni mai mari decât 1 atunci cel mai mic multiplu comun al lor este produsul celor două numere.